Représentation vectorielle d’une droite passant par deux points en 3D : exemple 1

Enoncé

Donner une représentation vectorielle de la droite d passant par les deux points P(-5; 10; 10) et Q(5; 2; 0).

Rappels de la théorie

La représentation vectorielle ou paramétrique d’une droite dans l’espace est de type :

$\left\{\begin{matrix} x=x_0+kx_v \\ y=y_0+ky_v \\ z=z_0+kz_v \end{matrix}\right.$

On peut aussi l’écrire sous une autre forme :

$\dpi{120} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{pmatrix} +k \begin{pmatrix} x_v \\ y_v \\ z_v \end{pmatrix}$

Dans cette représentation x₀, y₀ et z₀ sont les coordonnées d’un point appartenant à la droite et x_v, y_v et z_v sont les composantes d’un vecteur parallèle à la droite (vecteur directeur). Il existe une infinité de points sur une droite et une infinité de vecteurs parallèle à une droite. Ainsi selon le point et le vecteur choisis, il existe une infinité de représentations vectorielles d’une même droite.

Corrections

En pratique, pour donner la représentation vectorielle d’une droite passant par deux points P et Q on a le choix entre les coordonnées d’un de ces deux points. Il est pratique de choisir, si possible, le point qui a des coordonnées nulles.

Dans notre exemple avec les points P(-5; 10; 10) et Q(5; 2; 0) on choisira le point Q :

$Q\in d\Rightarrow x_0=5$ $y_0=2$ $z_0=0$

Il faut encore déterminer les composants d’un vecteur parallèle à la droite. Si la droite passe par les points P et Q alors elle est parallèle au vecteur $\inline \small \overrightarrow{PQ}$ ou $\inline \small \overrightarrow{QP}$ .

Ici on choisit le vecteur $\inline \small \overrightarrow{PQ}$ :

$\overrightarrow{PQ}= \begin{pmatrix} x_Q - x_P \\ y_Q - y_P \\ z_Q - z_P \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5-(-5) \\ 2-10 \\ 0-10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ -8 \\ -10 \end{pmatrix}$

On peut utiliser sans autre les composantes de ce vecteur pour la représentation paramétrique de notre droite. Mais on note que les trois composantes sont divisibles par 2. Il serait plus élégant d’utiliser le vecteur $\inline \small \overrightarrow{v}$ qui est égale à $\inline \small \frac{\overrightarrow{PQ}}{2}$ . Ce vecteur est aussi parallèle à la droite d :

$\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ -5 \end{pmatrix}\parallel d \Rightarrow x_v=5$ $y_v=-4$ $z_v=-5$

On peut maintenant donner la représentation paramétrique de notre droite :

$\left\{\begin{matrix} x=5+5k \\ y=2-4k \\ z=-5k \end{matrix}\right.$ ou $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} +k \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ -5 \end{pmatrix}$

Voici quelques autres représentations possibles de la droite d selon le point et le vecteur choisis :

Point Q et vecteur $\inline \small \overrightarrow{PQ}$ $\left\{\begin{matrix} x=5+10k \\ y=2-8k \\ z=-10k \end{matrix}\right.$ ou $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} +k \begin{pmatrix} 10 \\ -8 \\ -10 \end{pmatrix}$

Point P et vecteur $\inline \small \overrightarrow{PQ}$ $\left\{\begin{matrix} x=-5+10k \\ y=10-8k \\ z=10-10k \end{matrix}\right.$ ou $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 10 \\ 10 \end{pmatrix} +k \begin{pmatrix} 10 \\ -8 \\ -10 \end{pmatrix}$

Point P et vecteur $\inline \small \overrightarrow{QP}$ $\left\{\begin{matrix} x=-5-10k \\ y=10+8k \\ z=10+10k \end{matrix}\right.$ ou $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 10 \\ 10 \end{pmatrix} +k \begin{pmatrix} -10 \\ 8 \\ 10 \end{pmatrix}$

Pour savoir comment déterminer la partie visible de cette droite, cliquez ici.