Comment savoir qu’une fonction rationnelle a une asymptote oblique ?

Une fonction rationnelle admet une asymptote oblique si son numérateur et exactement un degré supérieur à son dénominateur.

Par exemple les fonctions suivantes ont une asymptote oblique :

$f(x)=\frac{x^2-5x+2}{3x-1}$

$f(x)=\frac{4x^2}{2x-3}$

$f(x)=\frac{x^3-2x}{3-x^2}$

Les fonctions suivantes n’ont pas d’asymptote oblique :

$f(x)=\frac{x^3-2x}{x+2}$

$f(x)=\frac{x-2}{3x+4}$

$f(x)=\frac{2x-1}{3x^2+5}$

On peut aussi détecter l’ASO d’une fonction rationnelle écrite sous une forme décomposée. Par exmple dans la fonction $f(x)=2x-1+\frac{1}{x+1}$ l’expression $2x+1$ représente l’asymptote oblique de la fonction : $ASO:y=2x+1$ .

Ainsi pour une fonction rationnelle écrite sous une forme décomposée, l’expression en dehors de la fraction représente une asymptote oblique si elle est un polynôme de 1^er degré. Voici quelques exemples :

$f(x)=x-4+\frac{1}{3x-5}\Rightarrow ASO: y=x-4$