{"id":39221,"date":"2024-07-17T10:37:36","date_gmt":"2024-07-17T08:37:36","guid":{"rendered":"https:\/\/www.swisslearn.org\/?p=39221"},"modified":"2024-07-20T12:18:02","modified_gmt":"2024-07-20T10:18:02","slug":"representation-vectorielle-dun-plan-donnee-par-ses-traces","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.swisslearn.org\/?p=39221","title":{"rendered":"Repr\u00e9sentation vectorielle d’un plan donn\u00e9e par ses traces"},"content":{"rendered":"\n

Pour donner une \u00e9quation d\u2019un plan, on doit conna\u00eetre les coordonn\u00e9es d\u2019un point du plan (x0<\/sub><\/em> ; y0<\/sub><\/em> ; z0<\/sub><\/em>) ainsi que les composantes de deux vecteurs parall\u00e8les au plan (xv1<\/sub> <\/em>; yv1<\/sub><\/em> ; zv1<\/sub><\/em> et xv2<\/sub><\/em> ; yv2<\/sub><\/em> ; zv2<\/sub><\/em>) :<\/p>\n

\"\\dpi{120}<\/p>\n

Ces informations peuvent \u00eatre obtenues en observant les traces du plan.<\/p>\n

Tous les points qui se trouvent sur les traces d’un plan appartiennent au plan . Les coordonn\u00e9es d’un de ces points peuvent \u00eatre utilis\u00e9es comme x0<\/sub><\/em>, y0<\/sub><\/em> et z0<\/sub><\/em> dans l\u2019\u00e9quation du plan. Si vous avez le choix, s\u00e9lectionnez le point avec le plus de coordonn\u00e9es nulles.<\/p>\n

Pour d\u00e9terminer les composantes des deux vecteurs, on peut proc\u00e9der de la mani\u00e8re suivante : d\u00e9terminer les coordonn\u00e9es de trois points sur les traces et calculer les composantes de deux vecteurs reliant ces points (voir \u00e9quation d’un plan passant par trois points<\/a>).<\/p>\n

Voici un exemple. Sur le sch\u00e9ma ci-dessous, le plan \u03b1 est repr\u00e9sent\u00e9 par ses traces :<\/p>\n

\"\"\u00a0<\/p>\n

On peut utiliser par exemple les coordonn\u00e9es des points d’intersection du plan avec les axes du rep\u00e8re (points A(6; 0; 0), B(0; 3; 0) et C(0; 0; 4)).<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

On peut utiliser un de ces points comme x0<\/sub><\/em> ; y0<\/sub><\/em> et z0<\/sub><\/em>. Ici on utilisera le point A(6; 0; 0). Ces points d\u00e9finissent des vecteurs comme le vecteur AB, AC, BC, BA etc. Deux de ces vecteurs suffisent pour d\u00e9terminer l’\u00e9quation de ce plan. Ici on utilisera les vecteurs AB et AC :<\/p>\n

\"\\overrightarrow{AB}=\\begin{pmatrix}<\/p>\n

\"\\overrightarrow{AC}=\\begin{pmatrix}<\/p>\n

Ces informations permettent de donner une \u00e9quation du plan \u03b1:<\/p>\n

\"\\alpha<\/p>\n

On peut aussi \u00e9crire cette \u00e9quation sous forme d’un syst\u00e8me de trois \u00e9quations:<\/p>\n

\"\\alpha<\/p>\n

\u00a0<\/p>\n

Notez que les composantes de deux vecteurs peuvent \u00eatre d\u00e9termin\u00e9es directement sur le sch\u00e9ma.<\/p>\n

Parfois, il est possible d’utiliser les vecteurs unitaires parall\u00e8les aux axes du rep\u00e8re:<\/p>\n

Un plan vertical (parall\u00e8le \u00e0 l’axe Oz<\/em>) est parall\u00e8le au vecteur vertical \"\\inline. et un plan horizontal est parall\u00e8le aux vecteurs\u00a0 \"\\inline\u00a0(parall\u00e8le \u00e0 l’axe Ox<\/em>) et \"\\inline\u00a0(parall\u00e8le \u00e0 l’axe Oy<\/em>).<\/p>\n

Voici un exemple :<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Ici on peut utiliser le point A(0; 3; 0) comme x0<\/sub><\/em> ; y0<\/sub><\/em> et z0 <\/sub><\/em>et les vecteurs unitaires \"\\overrightarrow{v_1}\\begin{pmatrix} et \"\\overrightarrow{v_2}\\begin{pmatrix}.<\/p>\n

Une \u00e9quation du plan est ainsi obtenue:<\/p>\n

\"\\alpha<\/p>\n

\u00a0<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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