Fonction comme relation entre deux nombres

Cours

Voici une expression mathématique : $y=x^2$

Les lettres y et x représentent des nombres. L’égalité nous indique que les valeurs de ces nombres sont reliées l’une à l’autre : si on connaît x alors on peut déterminer ce que vaut y.Voici quelques exemples :
Si x = 2 alors y = 4
Si x = 3 alors y = 9
Si x = −3 alors y = 9
Si x = 0 alors y = 0

Image et antécédent

Pour exprimer ces relations on utilise les termes d’antécédent et d’image. Au lieu de dire Si x = 2 alors y = 4 on dit que l’image de 2 c’est 4. Le nombre 2 est l’antécédent de 4 et 4 c’est l’image de 2.

Il faut noter plusieurs points :

deux valeurs différentes de x peuvent correspondre à une valeur identique de y ( $x=3\Rightarrow y=9$ $x=-3 \Rightarrow y=9$ ) ,
mais pour chaque valeur de x on a une seule valeur correspondant à y.

Autrement dit on utilisant la relation , x ne peut avoir qu’une seule image.

Retenons ce qui vient d’être dit et passons à une autre situation.

L’expression $y=x^2$ est mathématiquement équivalente à $x^2=y$ . Dans la première expression on disait que la valeur de y dépend de x mais on peut aussi inverser l’expression et dire que la valeur de x dépend de y :

Si y = 4 alors x = 2 ou −2
Si y = 9 alors x = 3 ou −3
Si y = 5 alors x = ou
Si y = 0 alors x = 0
Si y = −4 alors x = ø
etc.

Ici il faut noter plusieurs points :

une valeur de y peut correspondre à plusieurs valeurs de x,
une valeur de y peut correspondre à une seule valeur de x,
une valeur de y peut ne correspondre à aucune valeur de y.

Autrement dit chaque valeur de y peut correspondre à plusieurs, une seule ou aucune valeur de x.

Bien que l’expression y = x² est mathématiquement identique à l’expression x = y² xxxon constate que le fait de fixer x pour déterminer y ou y pour déterminer x nous met face à deux situation différentes.

Définition d’une fonction

La distinction entre y = x² et x = y²est importante pour comprendre ce qui est et ce qui n’est pas une fonction. Une fonction est une expression mathématique qui définit une relation entre deux nombres. Mais cette condition n’est pas suffisante. Pour qu’une relation entre deux nombres soit une fonction il faut qu’à chaque valeur du deuxième nombre ne corresponde au plus qu’une valeur pour le premier. Au plus signifie soit aucune, soit une mais pas deux ou trois. Testons cette définition pour déterminer si les expressions y = x²et x = y²sont des fonctions.

L’expression y = x²est bien une relation entre deux nombres. Elle remplie donc la première condition. Chaque valeur de x a une seule image. L’expression remplie donc aussi la deuxième condition. On peut donc dire que y = x²est bien une fonction.

L’expression x = y²est aussi une relation entre deux nombres. Elle remplie donc la première condition. Mais certaines valeurs de y correspondent à deux valeurs de x. Ainsi elle ne remplie pas la deuxième condition. L’expression x = y² n’est donc pas une fonction.

Voici une définition simple mais provisoire de ce qu’est une fonction en mathématique :

Une fonction exprime une relation entre deux nombres où à chaque valeur du deuxième nombre correspond au plus une valeur du premier nombre.

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